კომპლექსური ანალიზის და მისი გამოყენებების განყოფილება

თბილისის სახელმწიფო უნივერსიტეტის

ილია ვეკუას სახელობის გამოყენებითი მათემატიკის ინსტიტუტი

მათემატიკური კიბერნეტიკის განყოფილება

საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის კიბერნეტიკის ინსტიტუტი

ინტერესის სფეროები ძირითადი სამეცნიერო შედეგები

ანალიზური ფუნქციების სასაზღვრო ამოცანები და მომიჯნავე საკითხები - ალგებრული ტოპოლოგიის მეთოდების გამოყენებით, სასაზღვრო ამოცანები დაკავშირებულია რეგულარულ დიფერენციალურ განტოლებათა იმ კლასთან, რომლებიც ინდუცირებენ  ჰოლომორფულ არატრივიალურ ვექტორულ ფიბრაციებს რიმანის ზედაპირზე. ნაჩვენებია, რომ რიმანის ზედაპირზე მოცემულ ჰოლომორფულ მდგრად ფიბრაციას ყოველთვის გააჩნია დიფერენციალურ-გეომეტრიული ბმულობა ერთადერთი რეგულარული განსაკუთრებული წერტილით. ამ შედეგიდან გამომდინარეობს რიმან-ჰილბერტის მონოდრომიული ამოცანის ამონახსნა რეგულარულ დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემებისთვის იმ რიმანის ზედაპირებზე, რომელთა გვარი მკაცრად მეტია 1-ზე. ანალოგიური შედეგი სამართლიანია იმ დიფერენციალური განტოლებებისთვისაც, როდესაც საძიებელი ფუნქცია მნიშვნელობებს იღებს ჯგუფში. დადგენილი იქნა, რომ ასეთ განტოლებათა გლობალურ ამონახსნთა სივრცის თვისებები მკაცრად არის დამოკიდებული ჯგუფის ტოპოლოგიაზე.

უბან-უბან მუდმივი მატრიცული ფუნქციების ვინერ-ჰოფის ფაქტორიზაცია - ნაჩვენები იქნა, რომ უბან-უბან  მუდმივი მატრიცების მიერ წარმოქმნილი დიფერენციალური გალუას ჯგუფის ამოხსნადობა არის ფაქტორიზაციის ამოცანის კვადრატურებში ამოხსნადობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა. გარდა ამისა, დამტკიცებული იქნა, უბან-უბან  მუდმივი მატრიცული ფუნქციის კერძო ინდექსები ემთხვევა დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემის მიერ ინდუცირებული ჰოლომორფული ვექტორული ფიბრაციის გახლეჩვის ტიპს.

განზოგადებულ (ფსევდოანალიზურ) ანალიზურ ფუნქციათა გლობალური თეორია - დამტკიცდა, რომ მონოდრომიის თეორემა სამართლიანია განზოგადებული ანალიზური ფუნქციებისთვის, რამაც, ბელტრამის განტოლების მთავარი ჰომეომორფიზმის არსებობისა და უნიფორმიზაციის თეორემებთან ერთად, საფუძველი ჩაუყარა კომპლექსურ მრავალსახეობებზე განზოგადებულ ანალიზურ ფუნქციათა კონების აგებას. კონათა თეორიის ფარგლებში დადგინდა დოლბოსა და რიმან-როხის თეორემები; დამტკიცდა სერის დუალობა განზოგადებული ანალიზური ფუნქციებისთვის და გამოყვანილი იქნა რიმან-ჰურვიცის ფორმულის ანალოგი. ირეგულარული განზოგადებული ანალიზური ფუნქციებისთვის დამტკიცდა ლიუვილის თეორემის ანალოგი; შესწავლილ იქნა სასაზღვრო ამოცანები ასეთი ფუნქციებისთვის და მიღებულ იქნა ინდექსის ფორმულა. კომპლექსური სტრუქტურების დეფორმაციების ფარგლებში გამოკვლეულ იქნა სასაზღვრო ამოცანა, რომელიც შეიცავს წანაცვლების ოპერატორს. გარდა ამისა, კერძო შემთხვევაში, მოცემულ იქნა შვარც-კრისტოფელის ასახვის პარამეტრის ამოცანის ახალი დამტკიცება, ასევე ოთხკუთხედის განზოგადებული მოდულის გამოთვლის ახალი ალგორითმი.

კვანტური გამოთვლები - შემუშავდა კვანტური კომპიუტერის მოდელის აგების ახალი პრინციპი, რომელიც ეფუძნება დაშვებას, რომ კვანტურ-მექანიკური სისტემა აღიწერება ანალიზურ დიფერენციალურ განტოლებათა სისტემით. ამ პირობებში, კვანტური რეგისტრი წარმოადგენს დიფერენციალური განტოლებათა სისტემის ამონახსნთა სივრცეს, რომელზეც სისტემის მონოდრომიის ოპერატორი მოქმედებს როგორც კვანტური გეიტი, რაც ერთ ამონახსნს გარდაქმნის მეორედ — ეს კი ინტერპრეტირებულია, როგორც რეგისტრის გადასვლა ერთი მდგომარეობიდან მეორეში. აიგებული იქნა კვანტური გეიტების უნივერსალური სისტემა და ნაჩვენები იქნა, რომ დიფერენციალური განტოლება, რომელიც უზრუნველყოფს გეიტების უნივერსალურ სისტემას, შეიძლება განხილულ იქნას როგორც რეალური ფიზიკური სისტემის დინამიკის აღმწერი განტოლება.

გაცივებული ჩაჭერილი იონების მოდელირება - შესწავლილი იქნა ექსტრემალური ამოცანები სიბრტყეზე წერტილების სხვადასხვა გეომეტრიული კონფიგურაციებისთვის. ასეთი ამოცანები აღწერს მუხტების იმ მნიშვნელობების პოვნას წერტილების ფიქსირეული ლოკაციისათვის, რომლებიც მოცემულ კონფიგურაციას მიიყვანენ წონასწორულ მდგომარეობაში გარკვეული პოტენციალის პირობებში. სიბრტყეზე წერტილთა სხვადასხვა კონფიგურაციებისთვის ნაპოვნია წრფეზე განლაგებული ჩაჭერილი იონების მსგავსი თვისებები. კერძოდ, ნაჩვენებია, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედი ასევე შეიძლება გამოდგეს წერტილოვანი მუხტების ჩამჭერად სიბრტყეზე.